Apa itu dimensi fraktal?

Dimensi Fraktal. 

 

Persoalan membandingkan panjang yang tidak berhingga dan luas yang kecil tidak berhingga sebenarnya adalah seperti persoalan membandingkan dua sisi dari sebuah uang logam yang sama. Abad ke 20 telah membawa pemikiran manusia kepada kebutuhan yang sangat mendesak terhadap suatu cara baru dalam mengukur ruang dan dimensi. Dua orang matematikawan yaitu Felix Hausdroff dan Abram S. Besicovith telah menjawab persoalan pelik ini. Mereka bukan saja secara harfiah menguak dimensi yang baru tetapi juga telah mendefinisikan ulang dimensi itu sendiri. Setiap bentuk, oleh karena tradisi yang dilandasi oleh gagasan Descartes, memiliki dimensi misalnya 0 (titik), 1 (garis lurus dan kurva), 2 (bidang), atau 3 (ruang).

            Secara teoritis, dimensi ini telah diperluas termasuk dimensi keempat dan dimensi-dimensi yang lebih tinggi yang sulit untuk dibayangkan. Dengan memperluas karya dari Hausdroff, Besicovitch memajukan gagasan bahwa sebuah bentuk sebenarnya dapat memiliki ”dimensi pecahan”, seperti misalnya 1.5 atau 2.3. Dimensi kurva-kurva seperti segitiga Sierspinski dan garis pantai Koch harus dinyatakan dengan dimensi pecahan. Dengan demikian, tingkah laku yang ganjil dari kurva-kurva tersebut dapat dijelaskan. Dimensi pecahan ini dapat dihitung dengan tepat berdasarkan pengukuran dari sebuah kurva.

            Dimensi Hausdroff/Besicovith didefinisikan sebagai nisbah dari logaritma jumlah salinan ukuran dari bentuk benih relatif terhadap setiap salinan. Karena ada 4 salinan (4 segmen garis ) dan setiap salinan memiliki ukuran 1/3 ukuran benih, maka menurut definisi ini dimensi garis pantai Koch adalah log(4)/log (3) = 0.6021/0.4771 = 1.262.

            Jika ada dua bentuk yang memilki dimensi pecahan yang berbeda misalnya 1.26 dan 1.46, maka tidak dapat dikatakan bahwa bentuk yang pertama ”memiliki panjang yang tak berhingga lebih panjang” atau ”mengisi luasan yang kecil tak berhingga lebih banyak” dari yang kedua. Untuk lebih mudah dipahami, hal itu hanya dapat dinyatakan bahwa dimensi bentuk itu ”lebih dekat dengan dua dimensi”. Lebih lanjut lagi dapat dikatakan sampai seberapa jauh bentuk itu ”mengisi bidang”.

            Dalam kenyataannya, penggunaan gagasan dimensi pecahan telah melangkah lebih jauh dari apa yang dibayangkan oleh pencetusnya. Karena alam berlimpah dengan bentuk-bentuk swa-reflektif (self-reflecif) seperti garis pantai. Maka kebanyakan dari alam sekitar dapat  dicirikan dengan indeks yang baru ini. Pegunungan, awan, pohon-pohon, dan bunga-bunga semuanya memiliki dimensi antara dua dan tiga, dan ciri dari suatu bentuk dapat dibaca dari dimensinya. Garis pantai pulau Sulawesi yang kasar memiliki dimensi pecahan yang lebih besar dari pada garis pantai Bali yang halus. Gumpalan awan”mengisi ruang” lebih banyak dari kabut tipis, dan bangunan indah seperti Borobudur memiliki dimensi pecahan yang lebih besar dari pencakar lagit di Jakarta.

            Istilah dimensi pecahan kemudian oleh Benoit Mandelbrot diganti menjadi”dimensi fraktal”. Dimensi ini jauh lebih penting artinya bagi matematikawan karena mereka mendadak saja mampu mengukur keseluruhan bentuk-bentuk dalam jagad raya yang sebelumnya tidak bisa diukur. Untuk pertama kalinya sejak Descartes, sebuah meter pengukur ruang yang baru telah tercipta, meskipun apa yang telah diukur tetap belum diketahui secara pasti. Yang pasti Sierspinski, Koch, dan Hausdroff, tidak mengira bahwa perjalanan mereka ke tempat tak berhingga dari bentuk-bentuk abstrak dan ”tidak alamiah” akan kembali kepada ”geometri alam” sejati yang pertama.