Yuk cari tahu sejarah fraktal

Sejarah Geometri Fraktal

 

Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah fraktal, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju koch) adalah kurva monster. Selanjutnya ide-ide konsepsual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri Euclid dan kalkulus gagal melakukan berbagai pengukuran pada benda-benda monster tersebut.

Sadar atau tidak, selama ini telah tertanam pengertian geometri dari suatu bentuk berdasarkan gagasan yang dicetuskan oleh Euclid dari Alexandria (300 SM) dan Descartes dari Perancis (permulaan abad 16). Euclid membuat aksioma bahwa garis adalah ”panjang yang tak bertebal”. Dari aksioma ini kemudian dapat dibuat aturan -aturan logika konsisten yang dapat menerangkan tentang titik, garis lurus, dan bentuk-bentuk sederhana. Descartes memajukan gagasan bahwa alam raya ini seharusnya dapat diukur melalui tiga buah garis yang tegak lurus satu sama lain. Dengan tiga garis lurus ini lokasi benda apa saja dapat diketahui dengan tepat. Sebagai konsekuensinya, semua benda dapat dilihat sebagai suatu susunan raksasa dari kubus-kubus yang sangat kecil. Gagasan ini telah membentuk suatu pandangan ilmiah modern mengenai dunia.

Berdasarkan kesimpulan logis dari pandangan di atas, Sir Isaac Newton dan Baron Gottfried von Leibnitz menemukan kalkulus diferensial. Dalam diferensial kalkulus semua bentuk lengkung atau kurva berubah menjadi lurus,  sehingga persamaan linier dapat digunakan untuk kurva. Leibnitz mengajukan gagasan bahwa semua kurva terdiri dari segmen-segmen yang kecil tidak berhingga yang disebutnya sebagai ”garis-garis tangen atau diferensial ”. Jika sisi suatu kurva diperbesar akan semakin terlihat seperti sebuah garis lurus.

Kalkulus memberikan suatu ”limit” untuk proses pembesaran ini yaitu : kurva akan menyerupai garis lurus pada perbesaran yang tidak hingga. Hingga saat ini semua orang menggunakan teknik ”diferensiasi” dan kebalikannya, yaitu ’integrasi” untuk merumuskan dan memahami kejadian alam. Walaupun tidak diketahui apakah gagasan Leibnitz itu benar, semua orang tetap bersandar dan percaya bahwa sebuah kurva tidak lebih dan tidak bukan terdiri dari sejumlah tak berhingga segmen-segmen garis lurus. Pencarian kebenaran akan hal ini terus memperdebatkan antara ”limit” ketika perbesaran ” mendekati’ tidak berhingga dan apa yang terjadi ketika terjadi perbesaran yang tak berhingga.     

Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, seorang jenius jerman menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun-grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang. Perdebatan dimulai ketika pada tahun 1875 ketika Karl Weirstrass, menjelaskan bahwa kurva kontinyu tidak dapat dideferensiasi, dengan demikian jelas tidak ada garis-garis tangen.

Memasuki abad berikutnya sejumlah kurva-kurva aneh tiba-tiba muncul ke permukaan. Waclaw Sierpinski, matematikawan polandia membuat sebuah segitiga sama sisi yang kemudian dibaginya menjadi empat belahan berukuran sama. Dengan cara yang sama Sierpinski meneruskan pembagian tersebut untuk segitiga-segitiga lain yang lebih kecil. Bentuk yang sangat terkenal ini dinamakan orang segitiga Sierspinski. Jika pembagian dilanjutkan hingga jumlah yang tak hingga, maka sulit untuk membayangkan bentuk detilnya walau tidak ada satupun hukum-hukum matmatika yang dilanggar. Yang jelas jika salah satu bagian yang gelap diambil dan kemudian diperbesar mendekati tak berhingga, maka akan didapatkan bentuk segitiga seperti bentuk keseluruhanya. Segitiga Sierspinski mungkin adalah bentuk dari ”pra-fraktal” pertama yang paling terkenal.

Cara lain untuk membuat segitiga Sierspinski adalah dengan mula-mula membuat segitiga yang berisi, kemudian segitiga ini dilubangi di tengah-tengahnya dan di ketiga bagian sudut-sudutnya dengan segitiga yang berukuran lebih kecil. Selanjutnya proses pelubangan yang sama untuk setiap sisa segitiga yang masih berisi diulangi terus hingga jumlah yang tak berhingga. Sehingga akan diperoleh segitiga yang sama yang dikenal dengan nama Gasket Sierspinski.  

  Sierspinski mempertanyakan apakah luas yang ditutupi oleh bentuk tersebut nol atau tidak. Inilah teka-teki yang membingungkan yang mirip dengan ketidakpastian Leibnitz akan gagasannya sendiri tentang kurva yang menjadi garis lurus pada perbesaran mendekati tak berhingga.

Dalam setiap langkah hanya ¼ dari luas daerah berisi saja yang diambil, dan ¾ bagian sisanya atau sebagian besar masih tetap berisi. Berapapun banyaknya proses pelubangan yang dilakukan akan tetap didapatkan luas daerah berisi yang lebih besar dari luas yang diambil setiap kalinya. Jadi luas bentuk ini tidak akan pernah mencapai nol.

Di tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstrass yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip. Ia menemukan bentuk yang terkenal dengan Garis Pantai Koch. Koch memulai pembentukan garis pantai matematisnya dengan sebuah garis kemudian di atas garis tersebut dibangun sebuh segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1/3 dari garis yang pertama. Kemudian pada setiap segmen garis dibangun lagi segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1/3 dari segment garis. Proses ini dilakukan terus hingga kepengulangan yang tidak berhingga.

Masih terdapat lagi bentuk-bentuk geometri aneh misalnya Debu Cantor, Fourniers’s Multinuiverse, dan Devil Staircase, dan lain-lain. Semua bentuk-bentuk tersebut pada dasarnya mempertanyakan gagasan Euclid dan Descartes. Bentuk-bentuk tersebut adalah bentuk yang sekarang dikenal dengan nama geometri fraktal.  

Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.

Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar-himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan. Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis. Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian Lewis Fry Richardson. Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Di tahun 1975, Mandelbrot menggunakan kata fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas.

Definisi Fraktal 

 

Karakteristik fraktal, walaupun mudah dimengerti secara intuitif, ternyata sangat susah untuk dibuat definisi matematisnya. Terdapat beberapa definisi  fraktal, beberapa definisi diantaranya memakai ketentuan matematik dan statistik yang sukar dimengerti pembaca awam. Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai “himpunan yang dimensi Hausdorff Besicovitchnya lebih besar dari dimensi topologisnya“. Untuk fraktal yang serupa diri secara persis, dimensi Hausdorffnya sama dengan dimensi Minkowsi Bouligandnya.

Bransley, seorang pakar fraktal ternama saat ini, enggan mendefinisikan apa itu fraktal. Dia hanya mengatakan bahwa fraktal adalah subset (sub himpunan) dari sebuah set (himpunan). Set biasanya dari geometri euclidean yang sederhana seperti bentuk segibanyak, lingkaran, kubus, bola, sedangkan subset berbentuk yang sangat ”rumit”.

Selanjutnya Bransley mendefinisikan bahwa suatu ruang X adalah set (himpunan). Titik-titik pada ruang adalah anggota himpunan tersebut. Dalam bukunya yang berjudul ”Fractal Everywhere”, Bransley membahas secara detil mengenai ruang metrik yang terkait dengan geometri fraktal. Hal-hal yang dibahas pada ruang metrik meliputi ekivalen pada ruang metrik, topologi pada ruang metrik, serta transformasi pada ruang metrik. Selain itu, Bransley juga mengkaji mengenai dinamical chaostik, dimensi fraktal, interpolasi fraktal, himpunan Julia, Parameter ruang dan himpunan mandelbrot, pengukuran pada fraktal, aplikasi untuk komputer grafis, dan sistem fungsi iterasi yang dapat digunakan untuk membangun suatu fraktal.